三道题完整讲解

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这一版重点放在内容和公式排版上。每道题都按照“读题、选方法、列式、计算、检查”的顺序讲，分数用标准分数线，上标下标用规范数学格式。

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1. 等差数列 用前 7 项和先求中间项，再求公差和通项公式。 2. 二项式项数 由展开式有 9 项得到指数，再找指定幂的系数。 3. 分数指数 把根号分母改写为负分数指数，再列指数方程。

逐题讲解

先理解方法，再得到答案

下面每道题都把关键概念和计算过程拆开写。公式部分尽量用标准排版，避免把分数写成斜杠。

第 1 题｜等差数列

求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

目标不是硬套公式，而是先把第 4 项和公差求出来。

答案 $a_{n} = 2 n - 1$

已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{7} = 49$ ， $2 a_{2} + a_{4} = 13$ 。求 $a_{n}$ 。

解题过程

等差数列的 7 项和可以用中间项表示。7 项的中间项是第 4 项，所以 $S_{7} = 7 a_{4}$
代入 $S_{7} = 49$ ，得到 $7 a_{4} = 49, a_{4} = 7$
再利用另一个条件： $2 a_{2} + a_{4} = 13$ 把 $a_{4} = 7$ 代入： $2 a_{2} + 7 = 13, a_{2} = 3$
第 2 项到第 4 项相差两个公差： $a_{4} - a_{2} = 2 d$ 所以 $7 - 3 = 2 d, d = 2$
由 $a_{2} = 3$ 和 $d = 2$ 得 $a_{1} = a_{2} - d = 1$ 通项公式分三步写，手机上也更容易看清： $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ $a_{n} = 1 + 2 (n - 1)$ $a_{n} = 2 n - 1$

拿到题怎么想

先读“ ${a_{n}}$ 是等差数列”，脑子里先定目标：等差数列要写通项，通常就是想办法找到首项 $a_{1}$ 和公差 $d$ 。再读“ $S_{7} = 49$ ”，先别急着套很长的求和公式，因为 7 项是奇数项，最中间是第 4 项，所以这句话最直接是在提示先求 $a_{4}$ 。

下一步如何推进

读到另一个条件 $2 a_{2} + a_{4} = 13$ ，就要想：既然 $a_{4}$ 已经能从前 7 项和里求出来，下一步自然是把它代进去求 $a_{2}$ 。有了第 2 项和第 4 项，再问“通项还缺什么”，缺的是公差，所以用 $a_{4} - a_{2} = 2 d$ 求 $d$ ，再倒回 $a_{1}$ ，最后写通项。

读图说明：第 1 题右侧下标不够清晰，本页按

2 a_{2} + a_{4} = 13

讲解。

第 2 题｜二项式定理

求 ${(x - 2)}^{n}$ 中 $x^{7}$ 项的系数

先由项数确定指数，再写通项。

答案 -16

若 ${(x - 2)}^{n}$ 的展开式有 9 项，则含 $x^{7}$ 项的系数为多少？

解题过程

二项式 ${(a + b)}^{n}$ 展开后通常有 $n + 1$ 项。题目说有 9 项，所以 $n + 1 = 9, n = 8$
原式变成 ${(x - 2)}^{8}$
展开通项写为 $C_{8}^{k} x^{8 - k} {(- 2)}^{k}$ 这里 $k$ 表示选了几次常数项 $- 2$ 。
要得到 $x^{7}$ ，需要 $8 - k = 7, k = 1$
把 $k = 1$ 代入系数部分： $C_{8}^{1} {(- 2)}^{1} = 8 \times (- 2) = - 16$

第 3 题｜二项式与分数指数

求 ${(x^{2} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{10}$ 中 $x^{15}$ 项的系数

分母里的根号先改写成负分数指数。

答案 180

二项式 ${(x^{2} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{10}$ 的展开式中， $x^{15}$ 项的系数为多少？

解题过程

先把分母里的根号改写为指数： $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, \frac{2}{\sqrt{x}} = 2 x^{- \frac{1}{2}}$
所以原式可以看作 ${(x^{2} - 2 x^{- \frac{1}{2}})}^{10}$
设选第二项 $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ 的次数为 $k$ ，通项可以拆开看： $T_{k + 1} = C_{10}^{k} {(x^{2})}^{10 - k}$ $\times {(- 2 x^{- \frac{1}{2}})}^{k}$
只看 $x$ 的指数。第一部分给出 $2 (10 - k)$ ，第二部分给出 $- \frac{k}{2}$ ，总指数是 $2 (10 - k) - \frac{k}{2}$ $= 20 - \frac{5 k}{2}$
要得到 $x^{15}$ ，列指数方程： $20 - \frac{5 k}{2} = 15, k = 2$
把 $k = 2$ 代回系数部分： $C_{10}^{2} {(- 2)}^{2} = 45 \times 4 = 180$

知识点

点开进入概念页

每个概念都是独立页面。点进去后只看这个概念的定义、判断方法和题目里的用法，不会再跳到页面底部。

等差数列通项 看见“等差数列求通项”，先找首项和公差。 进入概念页 奇数项和的中间项 7 项、9 项这类奇数项求和，可以先抓中间项。 进入概念页 二项式展开项数 “展开式有几项”通常是在告诉你指数。 进入概念页 二项式通项 要找指定幂的系数，先用通项锁定第几项。 进入概念页 分数指数 根号和分母一起出现时，先改写指数。 进入概念页 系数问某一项的系数，就只取它前面的数字和符号。 进入概念页

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先理解方法，再得到答案

求数列 {an} 的通项公式

解题过程

求 (x-2)n 中 x7 项的系数

解题过程

求 (x2-2x)10 中 x15 项的系数

解题过程

点开进入概念页

求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

求 ${(x - 2)}^{n}$ 中 $x^{7}$ 项的系数

求 ${(x^{2} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{10}$ 中 $x^{15}$ 项的系数